Calculadora del ángulo entre dos vectores
Introduce los componentes de cada vector separados por comas o espacios.
Nota: ambos vectores deben tener la misma dimensión y no pueden ser vectores nulos.
¿Qué significa el ángulo entre dos vectores?
El ángulo entre dos vectores mide qué tan alineados están en el espacio. Si el ángulo es pequeño, apuntan en direcciones parecidas. Si es cercano a 180°, apuntan en direcciones opuestas. Si es 90°, son perpendiculares.
Este concepto aparece en geometría, física, álgebra lineal, gráficos por computadora, ciencia de datos y aprendizaje automático.
Fórmula para calcular el ángulo
La relación clave usa el producto punto:
cos(θ) = (A · B) / (|A| |B|)
Luego: θ = arccos((A · B) / (|A| |B|))
- A · B es el producto punto de los vectores.
- |A| y |B| son sus magnitudes (normas).
- El resultado de θ puede expresarse en radianes o grados.
Pasos manuales (resumen práctico)
1) Verifica la dimensión
Los dos vectores deben tener la misma cantidad de componentes. Por ejemplo, ambos en 2D, ambos en 3D o ambos en nD.
2) Calcula el producto punto
Multiplica componente a componente y suma:
A · B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
3) Calcula las magnitudes
|A| = √(a12 + ... + an2) y lo mismo para |B|.
4) Obtén el coseno del ángulo
Divide el producto punto entre el producto de magnitudes.
5) Aplica arccos
Así obtienes el ángulo final.
Ejemplo rápido
Sean A = (1, 2, 2) y B = (2, 1, 2).
- Producto punto: 1·2 + 2·1 + 2·2 = 8
- |A| = √(1 + 4 + 4) = 3
- |B| = √(4 + 1 + 4) = 3
- cos(θ) = 8 / 9
- θ = arccos(8/9) ≈ 27.27°
Interpretación del resultado
- 0°: vectores paralelos y misma dirección.
- 90°: vectores perpendiculares (ortogonales).
- 180°: vectores paralelos y dirección opuesta.
- Entre 0° y 90°: ángulo agudo (relación positiva).
- Entre 90° y 180°: ángulo obtuso (relación negativa).
Errores comunes al calcular el ángulo
- Usar vectores de distinta dimensión.
- Olvidar que un vector nulo no tiene dirección definida.
- Redondear demasiado pronto durante el proceso.
- Confundir grados con radianes al usar calculadora científica.
Aplicaciones reales
El ángulo entre vectores se usa para medir similitud (por ejemplo, similitud coseno en procesamiento de texto), determinar trabajo mecánico en física, controlar orientación en robótica y calcular iluminación en gráficos 3D.