Calculadora de autovalores y autovectores (matriz 2×2)
Ingresa los valores de la matriz A y haz clic en calcular:
[ c d ]
Nota: la herramienta calcula autovalores y autovectores para matrices reales 2×2. También muestra resultados complejos cuando corresponda.
¿Qué son los autovectores?
En álgebra lineal, un autovector (o eigenvector) de una matriz A es un vector no nulo que, al multiplicarse por la matriz, mantiene su dirección. Lo único que cambia es su escala. Ese factor de escala se llama autovalor (eigenvalue).
Esto significa que la transformación lineal descrita por la matriz no “gira” completamente ese vector, sino que lo estira o encoge en una magnitud λ.
Método de cálculo para matrices 2×2
1) Construir el polinomio característico
Para una matriz:
[ c d ]
Los autovalores se obtienen resolviendo:
que conduce al polinomio cuadrático:
2) Resolver para obtener los autovalores λ
Se usa la fórmula general. Dependiendo del discriminante:
- Si es positivo: dos autovalores reales distintos.
- Si es cero: autovalor real doble.
- Si es negativo: autovalores complejos conjugados.
3) Hallar autovectores asociados
Para cada autovalor, se resuelve:
Esto da un sistema homogéneo. Cualquier solución no trivial es un autovector válido (los múltiplos escalares representan la misma dirección).
Ejemplo rápido
Con la matriz del ejemplo inicial:
[ 2 3 ]
El trazo es 7 y el determinante es 10. El polinomio característico es:
Sus raíces son λ = 5 y λ = 2. Para cada una, se obtiene un autovector resolviendo el sistema lineal correspondiente. Si usas la calculadora de arriba, verás ambos vectores inmediatamente.
Interpretación geométrica
Los autovectores indican direcciones invariantes de la transformación. Si tomas un punto en esa dirección y aplicas A, permanecerá alineado sobre la misma recta, aunque más lejos, más cerca o invertido (si λ < 0).
- |λ| > 1: expansión.
- 0 < |λ| < 1: contracción.
- λ < 0: inversión de sentido.
- λ complejo: combinación de rotación y escalado en el plano complejo.
Casos especiales importantes
Autovalor doble
Cuando el autovalor se repite, pueden pasar dos cosas:
- Existen dos autovectores linealmente independientes (matriz diagonalizable).
- Solo hay una dirección propia (matriz defectuosa, no diagonalizable).
Matriz escalar
Si A = kI, entonces todo vector no nulo es autovector y el único autovalor es k.
Aplicaciones del cálculo de autovectores
- PCA y análisis de datos: reducción de dimensionalidad.
- Dinámica y control: estabilidad de sistemas.
- Física: modos normales y ecuaciones diferenciales.
- Grafos y redes: centralidad y estructura espectral.
- Procesamiento de señales: descomposiciones y filtros.
Errores comunes al calcular autovectores
- Olvidar que el autovector debe ser no nulo.
- Confundir autovector con “un vector único” (en realidad hay infinitos múltiplos).
- No revisar si hay suficientes autovectores para diagonalizar.
- Ignorar que pueden aparecer autovalores complejos aunque la matriz sea real.
Resumen práctico
Para calcular autovectores en 2×2: arma el polinomio característico, encuentra los autovalores y resuelve el sistema homogéneo para cada uno. Con esta página puedes hacerlo al instante y, al mismo tiempo, usar el artículo como guía teórica para entender el proceso paso a paso.