Calculadora de Función Inversa
Calcula f-1(y) para funciones lineales y racionales. Introduce los coeficientes, el valor de y y obtén el valor de x.
¿Qué es el cálculo de la función inversa?
El cálculo de función inversa consiste en encontrar una nueva función que “deshace” la acción de la función original. Si una función se llama f, su inversa se escribe como f-1, y cumple:
- f(f-1(x)) = x
- f-1(f(x)) = x
En términos prácticos: si f transforma un número de entrada en otro número de salida, la inversa toma esa salida y recupera la entrada original.
Cómo calcular la inversa paso a paso
1) Escribe la función como y = f(x)
Por ejemplo, y = 3x + 2.
2) Intercambia x por y
Cambiamos los papeles de las variables: x = 3y + 2.
3) Despeja y
x - 2 = 3y, entonces y = (x - 2)/3.
4) Renombra la función
El resultado final es la inversa: f-1(x) = (x - 2)/3.
Condiciones para que una función tenga inversa
No toda función tiene inversa en todo su dominio. Para que exista una inversa como función, la original debe ser:
- Inyectiva: a valores distintos de x les corresponden valores distintos de y.
- Biyectiva (si se exige inversa global): cubre todo el codominio sin repetir valores.
- Monótona en muchos casos prácticos (siempre creciente o siempre decreciente) para garantizar inyectividad.
Ejemplos rápidos
Ejemplo lineal
f(x) = 4x - 7. Intercambiamos: x = 4y - 7. Despejamos: y = (x + 7)/4. Por tanto: f-1(x) = (x + 7)/4.
Ejemplo racional
f(x) = (2x + 1)/(x + 3). Intercambiamos: x = (2y + 1)/(y + 3). Despejando se obtiene: y = (1 - 3x)/(x - 2). Entonces: f-1(x) = (1 - 3x)/(x - 2), con las restricciones de dominio correspondientes.
Ejemplo cuadrático con restricción
f(x) = x2 no tiene inversa en todo ℝ porque no es inyectiva (f(2) = f(-2)). Si restringimos a x ≥ 0, entonces sí: f-1(x) = √x.
Errores comunes en el cálculo de función inversa
- No intercambiar correctamente x e y antes de despejar.
- Olvidar restricciones de dominio y rango.
- Suponer que todas las funciones tienen inversa global.
- No verificar el resultado con composición: f(f-1(x)).
Interpretación gráfica
La gráfica de una función y la de su inversa son simétricas respecto a la recta y = x. Si un punto (a, b) está en f, entonces el punto (b, a) está en f-1.
Consejo práctico de estudio
Cuando practiques, usa siempre esta lista de comprobación:
- ¿La función es inyectiva en el dominio dado?
- ¿Intercambié x ↔ y correctamente?
- ¿Despejé y sin errores algebraicos?
- ¿Verifiqué que f(f-1(x)) = x?
Con constancia, el cálculo de función inversa se vuelve un proceso mecánico y muy útil para álgebra, cálculo, modelación y análisis de datos.