Calculadora tensorial (2×2)
Esta herramienta calcula invariantes de un tensor de rango 2, la contracción con un vector y la elevación de índice usando una métrica simétrica.
Supuestos: \(T_{ij}\) es un tensor covariante en 2D, y la elevación usa \(T^i{}_j = g^{ik}T_{kj}\). Si det(\(g\)) = 0, la métrica no es invertible.
¿Qué es el cálculo tensorial?
El cálculo tensorial es el lenguaje matemático que permite describir magnitudes físicas y geométricas de forma independiente del sistema de coordenadas. Si cambias de coordenadas cartesianas a polares, o de una carta local a otra en una variedad, un tensor conserva su significado geométrico aunque cambien sus componentes numéricos.
Esta idea es central en física teórica, geometría diferencial, mecánica del continuo, visión por computador y aprendizaje automático geométrico. Donde haya curvatura, anisotropía o transformaciones de base, los tensores aparecen de forma natural.
Escalares, vectores y tensores
Escalar (rango 0)
Un escalar es un número que no depende de la dirección ni de la base. Ejemplos: temperatura en un punto, masa total, energía potencial en una posición.
Vector (rango 1)
Un vector tiene magnitud y dirección. Sus componentes sí cambian al rotar la base, pero el objeto geométrico subyacente es el mismo. La velocidad de una partícula o un campo eléctrico son ejemplos clásicos.
Tensor (rango 2 o mayor)
Un tensor de rango 2 puede verse como una regla lineal que toma vectores y produce vectores o escalares, según su tipo de índices. Por ejemplo, el tensor de tensiones de Cauchy relaciona la normal de una superficie con la tracción interna en materiales.
Notación de índices y convención de Einstein
En notación indexada, un índice repetido implica suma automática (convención de Einstein). Por ejemplo:
w_i = T_{ij}v^j significa sumar sobre j.
- Índices arriba (\(v^i\)): componentes contravariantes.
- Índices abajo (\(v_i\)): componentes covariantes.
- Subir y bajar índices se hace con la métrica
g_{ij}y su inversag^{ij}.
Métrica y elevación de índices
La métrica define productos internos, longitudes y ángulos. En coordenadas euclidianas simples, la métrica suele ser la identidad. En espacios curvos o sistemas no ortonormales, la métrica puede depender del punto.
Para elevar un índice de un tensor covariante de rango 2 se usa:
T^i{}_j = g^{ik}T_{kj}.
Esta operación cambia el tipo tensorial, pero preserva el contenido geométrico.
Derivada covariante y conexión
Derivar tensores en variedades requiere algo más que derivadas parciales. La derivada covariante corrige cómo cambia la base local en cada punto. Esa corrección está codificada por los símbolos de Christoffel, que en una conexión de Levi-Civita se obtienen a partir de la métrica.
Sin derivada covariante, las ecuaciones no serían invariantes bajo cambios generales de coordenadas. Esta invariancia es una condición esencial en relatividad general.
Curvatura: Riemann, Ricci y escalar
El tensor de Riemann mide la no conmutatividad de derivadas covariantes y cuantifica la curvatura intrínseca. Contrayendo índices se obtiene el tensor de Ricci, y una contracción adicional produce el escalar de curvatura.
En relatividad general, estos objetos entran directamente en las ecuaciones de Einstein para relacionar geometría del espacio-tiempo con materia y energía.
Aplicaciones prácticas del cálculo tensorial
- Relatividad general: dinámica gravitacional en espacio-tiempo curvo.
- Mecánica de sólidos: tensiones, deformaciones y leyes constitutivas anisotrópicas.
- Fluidos complejos: viscosidad no newtoniana y transporte direccional.
- Visión por computador: tensores de estructura para detección de bordes y orientación.
- Machine learning geométrico: modelos en variedades y métricas riemannianas.
Cómo usar la calculadora de esta página
- Introduce los componentes de
T11, T12, T21, T22. - Define la métrica simétrica con
g11, g12, g22. - Escribe el vector
v1, v2y pulsa Calcular. - Revisa traza, determinante, norma de Frobenius, contracción \(w_i\), forma cuadrática y tensor con índice elevado.
Si deseas una prueba rápida, usa el botón Cargar ejemplo curvo. Si la métrica resulta singular, la calculadora te avisará que no puede invertirla.
Errores comunes al empezar
- Confundir matriz numérica con objeto tensorial sin especificar transformación.
- Mezclar índices covariantes y contravariantes sin métrica.
- Aplicar derivadas parciales donde se requiere derivada covariante.
- Ignorar que el valor de componentes depende de la base elegida.
Conclusión
El cálculo tensorial puede parecer denso al principio, pero su potencia está en la claridad geométrica: describe leyes físicas de forma independiente de coordenadas. Entender notación, métrica, contracción y derivada covariante abre la puerta a áreas avanzadas de matemática aplicada y física moderna.