Calculadora de determinante de matrices
Selecciona el tamaño de la matriz, ingresa los valores y calcula el determinante al instante.
Tip: puedes usar números enteros o decimales (por ejemplo: -3, 2.5, 0).
¿Qué es el determinante de una matriz?
El determinante es un número que se asocia a una matriz cuadrada (mismo número de filas y columnas). Este valor resume información clave de la matriz: por ejemplo, si una transformación lineal aplana el espacio, si un sistema de ecuaciones tiene solución única y cómo cambia el volumen al aplicar dicha transformación.
En términos prácticos: cuando el determinante es 0, la matriz no es invertible y existe dependencia lineal entre filas o columnas. Si es distinto de 0, la matriz sí tiene inversa.
Cómo calcular el determinante paso a paso
1) Caso 2×2 (el más rápido)
Si tienes una matriz:
[a b; c d],
el determinante se calcula como:
det = a·d − b·c.
- Multiplica la diagonal principal:
a·d. - Multiplica la diagonal secundaria:
b·c. - Resta los resultados.
2) Caso 3×3 (regla de Sarrus o cofactores)
Para una matriz 3×3 puedes usar la regla de Sarrus. Es cómoda y evita expandir muchos menores. También puedes usar expansión por cofactores, especialmente si hay ceros.
Si la matriz es:
[a b c; d e f; g h i], entonces:
det = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh.
3) Caso n×n (4×4 o más)
Para matrices grandes, los métodos manuales más usados son:
- Expansión por cofactores: exacta, pero puede volverse larga.
- Eliminación de Gauss: transforma la matriz en triangular y luego multiplicas su diagonal.
En la práctica, para 4×4 o 5×5 es mejor usar calculadora o software para evitar errores aritméticos.
Propiedades útiles para verificar resultados
- Si intercambias dos filas, el determinante cambia de signo.
- Si una fila es múltiplo de otra, el determinante vale 0.
- Si una fila completa es cero, el determinante vale 0.
- El determinante de una matriz triangular es el producto de su diagonal.
det(A·B) = det(A)·det(B).
Errores comunes al calcular determinantes
Signos incorrectos en cofactores
Al expandir por cofactores, el patrón de signos alterna:
+ − + en la primera fila, luego − + −, etc.
Perder un signo cambia totalmente el resultado.
Aplicar Sarrus fuera de 3×3
La regla de Sarrus solo funciona para matrices 3×3. No se puede extender directamente a 4×4.
No validar si la matriz es cuadrada
Es un error frecuente en estudiantes: intentar calcular determinante de una matriz 2×3 o 3×4. Recuerda: debe ser n×n.
Ejemplo rápido (3×3)
Supón la matriz:
[2 1 3; 0 -1 4; 5 2 0].
Aplicando la fórmula de Sarrus:
- Diagonal positiva:
2·(-1)·0 + 1·4·5 + 3·0·2 = 0 + 20 + 0 = 20 - Diagonal negativa:
3·(-1)·5 + 1·0·0 + 2·4·2 = -15 + 0 + 16 = 1 - Determinante:
20 - 1 = 19
Conclusión
Entender cómo calcular el determinante de una matriz te ayuda en álgebra lineal, sistemas de ecuaciones, geometría analítica, física e ingeniería. Empieza dominando 2×2 y 3×3, luego pasa a cofactores o Gauss para matrices mayores. Con la calculadora de esta página puedes practicar y comprobar tus resultados en segundos.