Calculadora del ortocentro (con coordenadas)
Introduce las coordenadas de los tres vértices del triángulo. La herramienta calcula el ortocentro, clasifica el triángulo y muestra ecuaciones de dos alturas.
¿Qué es el ortocentro de un triángulo?
El ortocentro es el punto donde se cruzan las tres alturas de un triángulo. Una altura es una recta que pasa por un vértice y cae perpendicular al lado opuesto (o a su prolongación). Es uno de los centros notables de la geometría, junto con el baricentro, incentro y circuncentro.
Entender cómo calcular el ortocentro es útil en cursos de geometría analítica, problemas de bachillerato, ingeniería y programación matemática.
Dónde se ubica el ortocentro según el tipo de triángulo
- Triángulo acutángulo: el ortocentro está dentro del triángulo.
- Triángulo rectángulo: el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.
- Triángulo obtusángulo: el ortocentro queda fuera del triángulo.
Esta propiedad es muy útil para verificar rápidamente si un resultado “tiene sentido”.
Cómo calcular el ortocentro paso a paso (método analítico)
1) Escribe los vértices en coordenadas
Supón que tienes:
- A(xA, yA)
- B(xB, yB)
- C(xC, yC)
2) Plantea dos alturas
No hace falta usar las tres; con dos es suficiente para encontrar su intersección. Por ejemplo:
- Altura desde A: perpendicular al lado BC.
- Altura desde B: perpendicular al lado AC.
3) Usa perpendicularidad con producto punto
La altura por A cumple:
(x − xA)(xB − xC) + (y − yA)(yB − yC) = 0
La altura por B cumple:
(x − xB)(xA − xC) + (y − yB)(yA − yC) = 0
Resuelves ese sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas y obtienes H(x, y), el ortocentro.
Ejemplo rápido
Si A(0,0), B(6,0), C(2,5), al resolver las alturas se obtiene:
- Ortocentro aproximado: H(2, 1.6)
- El triángulo es acutángulo, así que H queda dentro.
Puedes cargar este ejemplo con el botón Cargar ejemplo de la calculadora.
Errores comunes al calcular el ortocentro
- Confundir altura con mediana: la mediana va al punto medio; la altura va perpendicular al lado opuesto.
- Usar mal pendientes perpendiculares: si m1 es la pendiente de un lado, la pendiente perpendicular es −1/m1 (cuando no hay casos vertical/horizontal especiales).
- No verificar triángulo degenerado: si los tres puntos están alineados, no existe ortocentro único.
- Redondear demasiado pronto: conserva decimales durante los cálculos intermedios.
Relación del ortocentro con otros centros notables
En cualquier triángulo no degenerado, ortocentro, baricentro y circuncentro son colineales en la llamada recta de Euler. Este hecho aparece con frecuencia en olimpiadas matemáticas y problemas de geometría avanzada.
Conclusión
Para calcular el ortocentro de un triángulo con coordenadas, la estrategia más robusta es construir dos alturas usando perpendicularidad y resolver su intersección. La calculadora de esta página automatiza ese proceso y te da, además, una interpretación geométrica del resultado.
Si estás estudiando geometría analítica, practica con triángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos para internalizar dónde aparece el ortocentro en cada caso.