Calculadora del punto de corte (forma general)
Introduce las dos rectas en la forma ax + by = c. Esta forma funciona también con rectas verticales y horizontales.
Recta 1
Recta 2
¿Qué es el punto de corte de dos rectas?
El punto de corte (o intersección) es el par ordenado (x, y) que satisface simultáneamente las ecuaciones de ambas rectas. Dicho de forma sencilla: es el punto exacto donde se cruzan en el plano cartesiano.
Para encontrarlo, convertimos el problema en un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Si el sistema tiene una única solución, esa solución es el punto de corte.
Formas comunes de expresar una recta
1) Forma pendiente-ordenada: y = mx + b
Es muy útil cuando conoces la pendiente (m) y el corte con el eje y (b). Si tienes dos rectas en esta forma, igualas sus expresiones de y para hallar x.
2) Forma general: ax + by = c
Es la más versátil para cálculo algebraico, especialmente cuando hay rectas verticales (por ejemplo, x = 4). La calculadora superior utiliza esta forma para evitar limitaciones.
Método rápido con y = mx + b
Si tus rectas son:
- Recta 1: y = m₁x + b₁
- Recta 2: y = m₂x + b₂
En el punto de corte, ambas y son iguales:
m₁x + b₁ = m₂x + b₂
De ahí:
x = (b₂ - b₁) / (m₁ - m₂)
Luego sustituyes ese valor de x en cualquiera de las dos rectas para obtener y.
Método general con determinantes (el que usa la calculadora)
Si tienes:
- a₁x + b₁y = c₁
- a₂x + b₂y = c₂
Calculamos:
- D = a₁b₂ - a₂b₁
- Dx = c₁b₂ - c₂b₁
- Dy = a₁c₂ - a₂c₁
Y entonces:
- Si D ≠ 0, hay una única solución: x = Dx/D, y = Dy/D.
- Si D = 0 y además Dx = Dy = 0, las rectas coinciden (infinitos puntos).
- Si D = 0 y alguno de Dx, Dy no es 0, son paralelas (sin intersección).
Ejemplo resuelto paso a paso
Supongamos las rectas:
- 2x + 3y = 12
- -x + y = 2
Calculamos determinantes:
- D = (2)(1) - (-1)(3) = 2 + 3 = 5
- Dx = (12)(1) - (2)(3) = 12 - 6 = 6
- Dy = (2)(2) - (-1)(12) = 4 + 12 = 16
Como D ≠ 0:
- x = 6/5 = 1.2
- y = 16/5 = 3.2
El punto de corte es (1.2, 3.2).
Errores frecuentes al calcular intersecciones
- Confundir signos al pasar términos de un lado a otro.
- Olvidar que rectas con la misma pendiente pueden ser paralelas o coincidentes.
- Trabajar solo con decimales y acumular redondeos prematuros.
- No comprobar la solución sustituyendo en ambas ecuaciones.
Aplicaciones prácticas
El punto de corte de dos rectas aparece en muchos contextos:
- Economía: punto de equilibrio entre costos e ingresos.
- Física: cruce de tendencias en gráficas de movimiento.
- Ingeniería: modelado de sistemas lineales simples.
- Estadística: comparación de modelos lineales.
Resumen rápido
Para calcular el punto de corte de dos rectas, resuelve el sistema formado por ambas ecuaciones. Si hay solución única, ese par (x, y) es la intersección. Si no la hay, son paralelas; si hay infinitas, son la misma recta.
Usa la calculadora de arriba para obtener el resultado al instante y verificar tus ejercicios.