Calculadora de recorrido (función cuadrática)
Ingresa los coeficientes de f(x) = ax² + bx + c. Si a = 0, la calculadora detecta automáticamente el caso lineal o constante.
¿Qué es el recorrido de una función?
El recorrido (también llamado imagen o rango) es el conjunto de todos los valores de salida que puede tomar una función. Si el dominio te dice qué valores puede tomar x, el recorrido te dice qué valores puede tomar y = f(x).
Por ejemplo, en la función f(x) = x², no importa qué número real uses para x: el resultado nunca será negativo. Por eso, su recorrido es [0, +∞).
Diferencia entre dominio y recorrido
- Dominio: valores permitidos para la variable independiente (x).
- Recorrido: valores que realmente produce la función (y).
Un error clásico es confundir ambos conceptos. Puedes tener una función definida en todos los reales, pero con recorrido limitado (como una parábola que abre hacia arriba).
Método general para calcular el recorrido
1) Identifica el tipo de función
No se analiza igual una función lineal, una cuadrática, una racional o una trigonométrica. El tipo de función define la estrategia.
2) Revisa restricciones del dominio
Antes de hablar del recorrido, asegúrate de saber dónde está definida la función. Raíces, denominadores y logaritmos suelen imponer restricciones.
3) Busca máximos, mínimos y comportamientos límite
El recorrido depende de los valores extremos que puede alcanzar la función. Para eso, puedes usar:
- Vértice (en cuadráticas).
- Derivadas (en funciones generales).
- Asíntotas y límites (en racionales).
- Transformaciones de funciones base.
4) Escribe el conjunto final con notación correcta
Usa intervalos y símbolos adecuados:
- [a, b] incluye extremos.
- (a, b) excluye extremos.
- ±∞ nunca se escribe con corchete.
Cómo calcular el recorrido según el tipo de función
Función lineal: f(x) = mx + n
Si m ≠ 0 y el dominio es todo R, el recorrido también es todo R. La recta crece o decrece sin límites.
Si m = 0, la función es constante y su recorrido es un solo valor: {n}.
Función cuadrática: f(x) = ax² + bx + c
Aquí la clave es el vértice. Su coordenada en x es:
Luego evalúas:
- Si a > 0: la parábola abre hacia arriba y el recorrido es [y_v, +∞).
- Si a < 0: abre hacia abajo y el recorrido es (-∞, y_v].
Función racional simple: f(x) = 1/x
No puede valer x = 0, así que el dominio excluye 0. Y tampoco puede dar y = 0, entonces el recorrido es:
Funciones con raíz: f(x) = √(x - a) + k
Como una raíz cuadrada nunca es negativa, el término √(x - a) parte desde 0. Por tanto, el recorrido base de √x es [0, +∞), y al sumar k se desplaza:
Valor absoluto: f(x) = |x - h| + k
La forma en “V” tiene mínimo en x = h. Ese mínimo vale k, así que:
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: f(x) = x² - 4x + 7
Calculamos el vértice:
Como a = 1 > 0, el recorrido es [3, +∞).
Ejemplo 2: f(x) = -2x² + 8x - 1
Como a = -2 < 0, el recorrido es (-∞, 7].
Ejemplo 3: f(x) = 3x - 5
Es lineal con pendiente distinta de cero, dominio real completo. Recorrido: (-∞, +∞).
Ejemplo 4 (dominio restringido): f(x) = x² en [-1, 3]
Evaluamos extremos y punto crítico (x = 0):
- f(-1) = 1
- f(0) = 0
- f(3) = 9
Mínimo 0, máximo 9. Recorrido: [0, 9].
Errores comunes al calcular el recorrido
- No considerar el dominio antes de estudiar la imagen.
- Olvidar puntos críticos internos cuando el dominio es un intervalo.
- Confundir un máximo local con máximo global.
- Usar mal la notación de intervalos (por ejemplo, poner [∞)).
Consejo práctico para exámenes
Si te piden el recorrido de una cuadrática, piensa automáticamente en vértice + apertura. Si te dan intervalo, añade evaluación en extremos. Ese flujo te ahorra tiempo y reduce errores.
Resumen rápido
- El recorrido es el conjunto de valores de salida de la función.
- Se calcula según el tipo de función y su dominio.
- En cuadráticas, el vértice determina el extremo principal.
- En intervalos cerrados, compara extremos y puntos críticos.
Usa la calculadora de arriba para practicar con funciones de segundo grado y verificar tus resultados paso a paso.