como se calcula el recorrido de una funcion

¿Qué es el recorrido de una función?

El recorrido (también llamado imagen o rango) es el conjunto de todos los valores de salida y que una función puede tomar cuando la variable x recorre su dominio.

Si tienes una función f(x), el dominio te dice “qué valores de x puedes usar”, y el recorrido te dice “qué valores de f(x) puedes obtener”.

Diferencia entre dominio y recorrido

• Dominio: valores permitidos de la variable independiente x.
• Recorrido: valores que realmente toma la variable dependiente y = f(x).

Ejemplo rápido: para f(x) = x², el dominio es todos los reales, pero el recorrido es y ≥ 0, porque un cuadrado nunca es negativo.

Cómo se calcula el recorrido de una función: método general

1) Identifica el dominio

Antes de hablar del recorrido, necesitas saber para qué valores de x existe la función. Por ejemplo:

• En raíces pares, el radicando debe ser ≥ 0.
• En fracciones, el denominador no puede ser 0.
• En logaritmos, el argumento debe ser > 0.

2) Estudia el comportamiento de f(x)

Para encontrar los valores de y, puedes usar varias estrategias:

• Despejar x en función de y (si es posible).
• Analizar máximos y mínimos con derivadas.
• Usar transformaciones de funciones conocidas.
• Apoyarte en la gráfica para confirmar resultados.

3) Expresa el recorrido en intervalos

Se suele escribir con notación de intervalos, por ejemplo:

• [2, ∞) significa “desde 2 incluido hasta infinito”.
• (-∞, 5] significa “todos los valores menores o iguales a 5”.
• ℝ \ {1} significa “todos los reales excepto 1”.

Casos típicos y su recorrido

Función lineal: f(x) = mx + b

Si m ≠ 0, la recta sube o baja sin límite: su recorrido es todos los reales (ℝ).

Si m = 0, la función es constante y = b, así que el recorrido es solo {b}.

Función cuadrática: f(x) = ax² + bx + c

La clave está en el vértice. Su coordenada en x es:

x_v = -b/(2a)

Luego evalúas y_v = f(x_v):

• Si a > 0, la parábola abre hacia arriba y el recorrido es [y_v, ∞).
• Si a < 0, abre hacia abajo y el recorrido es (-∞, y_v].

Función valor absoluto: f(x) = a|x - h| + k

El punto (h, k) es el vértice:

• Si a > 0, recorrido [k, ∞).
• Si a < 0, recorrido (-∞, k].
• Si a = 0, recorrido {k}.

Función racional simple: f(x) = a/(x - h) + k

Esta función tiene asíntota horizontal y = k. Si a ≠ 0, nunca puede valer k; por tanto:

Recorrido = ℝ \ {k}

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 1: f(x) = x² - 6x + 5

a = 1, b = -6. Entonces:

x_v = -(-6)/(2·1) = 3

y_v = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4

Como a > 0, el recorrido es [-4, ∞).

Ejemplo 2: f(x) = -2|x + 1| + 7

a = -2 y k = 7. Como a < 0, el valor máximo es 7 y baja sin límite.

Recorrido: (-∞, 7].

Ejemplo 3: f(x) = 4/(x - 3) - 2

La asíntota horizontal es y = -2. La función nunca toma ese valor.

Recorrido: ℝ \ {-2}.

Errores comunes al calcular el recorrido

• Confundir el recorrido con el dominio.
• No revisar restricciones del dominio.
• Olvidar si el extremo se incluye (corchete) o no (paréntesis).
• No identificar correctamente el vértice en parábolas y valores absolutos.

Resumen práctico

Para calcular el recorrido de una función de forma eficiente:

• Primero define el dominio.
• Encuentra extremos (mínimos o máximos) y asíntotas.
• Escribe el conjunto de valores de y en notación de intervalos.
• Comprueba el resultado con una gráfica o tabla de valores.

Si quieres, puedes usar la calculadora de arriba para practicar con funciones lineales, cuadráticas, de valor absoluto y racionales simples.