como se calcula el vector director

¿Qué es un vector director?

El vector director es un vector que marca la dirección de una recta. No tiene por qué empezar en el origen ni tener una longitud concreta: lo importante es su dirección (y su sentido, si no cambiamos el signo).

Si multiplicas un vector director por cualquier número distinto de cero, sigues teniendo un vector director de la misma recta. Por eso, una recta no tiene un único vector director, sino infinitos.

Cómo se calcula el vector director (métodos más usados)

1) Con dos puntos de la recta

Si conoces dos puntos \(A\) y \(B\), el vector director se obtiene restando coordenadas:

• En 2D: \(\vec{v} = (x_B - x_A,\; y_B - y_A)\)
• En 3D: \(\vec{v} = (x_B - x_A,\; y_B - y_A,\; z_B - z_A)\)

Este es el método más directo y el que más se usa en ejercicios de geometría analítica.

2) Desde la ecuación general de una recta en 2D

Para una recta escrita como ax + by + c = 0:

• Un vector normal es \(\vec{n}=(a,b)\).
• Un vector perpendicular a ese normal (y por tanto director de la recta) es \(\vec{v}=(b,-a)\).

También sirve \((-b,a)\), ya que es el mismo director con signo opuesto.

3) Desde una ecuación paramétrica

Si la recta está como:

x = x_0 + at,   y = y_0 + bt (y en 3D además \(z = z_0 + ct\)),

entonces el vector director es directamente (a, b) o (a, b, c).

Ejemplo resuelto paso a paso

Supón que la recta pasa por \(A(1,2)\) y \(B(4,8)\).

• Restamos: \(x_B-x_A=4-1=3\)
• Restamos: \(y_B-y_A=8-2=6\)

Por tanto, un vector director es \(\vec{v}=(3,6)\). Si simplificas por 3, también puedes usar (1,2).

Con ese director, la recta en forma paramétrica se puede escribir como:

x = 1 + 3t,   y = 2 + 6t

o equivalentemente:

x = 1 + t,   y = 2 + 2t

Errores comunes al calcular el vector director

• Cambiar el orden al restar coordenadas en un componente y no en los demás.
• Confundir vector normal con director en ecuaciones de la forma ax + by + c = 0.
• Usar dos puntos iguales, lo cual produce el vector nulo \((0,0)\) o \((0,0,0)\), que no sirve como director.
• Pensar que solo existe un vector director: en realidad hay infinitos proporcionales.

Relación entre vector director y pendiente

En 2D, si \(\vec{v}=(v_x,v_y)\), la pendiente de la recta es \(m = v_y/v_x\) (cuando \(v_x \neq 0\)).

Así, un vector director te da de forma inmediata la inclinación de la recta.

Consejo práctico de examen

Si te dan una recta en forma general, recuerda esta regla rápida:

ax + by + c = 0 → vector director = (b, -a)

Y si te dan dos puntos, resta siempre “final menos inicial” en todas las coordenadas para no equivocarte.