Calculadora de máximos (función cuadrática)
Introduce los coeficientes de f(x) = ax² + bx + c. También puedes agregar un intervalo para hallar el máximo absoluto en [xmin, xmax].
¿Qué significa “máximo” de una función?
Cuando hablamos de máximos de una función, nos referimos a puntos donde la función toma valores más grandes que los de alrededor (máximo local) o más grandes que todos los de su dominio (máximo absoluto o global).
- Máximo local: en un entorno cercano, ningún valor supera a ese punto.
- Máximo absoluto: en todo el dominio, ningún valor de la función es mayor.
Entender esta diferencia es clave, porque una función puede tener máximos locales y no tener máximo absoluto, especialmente si el dominio es todo ℝ y la función crece sin límite.
Método general para calcular máximos
1) Determina el dominio
Antes de derivar, define dónde existe la función. No es lo mismo buscar un máximo en todo ℝ que en un intervalo cerrado como [a,b]. En intervalos cerrados, el máximo absoluto siempre existe si la función es continua.
2) Calcula la primera derivada
Si f'(x) = 0, obtienes candidatos a extremos (puntos críticos). También cuentan puntos donde la derivada no existe pero la función sí.
3) Clasifica los puntos críticos
Hay dos pruebas comunes:
- Prueba de la segunda derivada: si f''(x0) < 0, entonces en x0 hay máximo local.
- Prueba del signo de f’: si f' pasa de positivo a negativo, hay máximo local.
4) Si hay intervalo cerrado, evalúa extremos
Para hallar máximo absoluto en [a,b], no basta con puntos críticos. Debes comparar:
- Valores en puntos críticos internos.
- Valor en el extremo izquierdo x=a.
- Valor en el extremo derecho x=b.
El mayor de esos valores es el máximo absoluto del intervalo.
Caso especial: función cuadrática
Una cuadrática tiene forma f(x)=ax²+bx+c. Su gráfica es una parábola:
- Si a < 0, abre hacia abajo y el vértice es un máximo global.
- Si a > 0, abre hacia arriba y no hay máximo global en ℝ.
- Si a = 0, ya no es cuadrática: es lineal o constante.
Para cuadráticas, el vértice se calcula con:
xv = -b / (2a), yv = f(xv)
Ejemplo paso a paso
Sea f(x) = -2x² + 8x + 1.
- a=-2<0, así que esperamos un máximo.
- Derivada: f'(x)=-4x+8.
- Punto crítico: -4x+8=0 ⇒ x=2.
- Evaluamos: f(2)=-2(4)+16+1=9.
Conclusión: la función tiene máximo global de 9 en x=2.
Errores comunes al buscar máximos
- Olvidar revisar el dominio antes de derivar.
- Confundir máximo local con máximo absoluto.
- No evaluar los extremos del intervalo cerrado.
- Creer que f'(x)=0 siempre implica máximo (puede ser mínimo o punto de inflexión).
- No comprobar si el punto crítico pertenece al intervalo pedido.
Resumen rápido
- Encuentra puntos críticos con f'(x)=0 o donde no exista f'.
- Usa segunda derivada o cambio de signo de f' para clasificar.
- En intervalos cerrados, compara también extremos.
- Para cuadráticas, el vértice da el extremo principal.
Si quieres practicar, usa la calculadora de arriba con distintos valores de a, b y c; luego añade un intervalo para ver cómo cambia el máximo absoluto.